matematika - fizika

Pažljivo pogledajte netočnu "rimsku" jednakost
sastavljenu od štapića jednake duljine.
Premještanjem jednog štapića pretvorite ju u točnu jednakost.
Na koliko to načina možete učiniti?

XX - II = IX + XI

I - III = III

V - IV = X

X - I = XII

VIII - I = V

VI + IV = I

XI + IX = I

VIII - II = X

Napišite nekoliko sljedećih članova slijeda:
5, 15, 37, 77, 141, ...

Kukac se prvog dana popeo na polovinu visine breze,
drugog dana popeo se još za polovinu ostatka,
a trećeg dana prevalio je preostalih 40 dm.
Koliko je visoka breza?

Koliki su četvrti i peti član slijeda:
1, 4, 27, -, -, 46656, ...?

Donja jednakost, izgrađena od štapića iste duljine, očito je netočna.
Pomicanjem samo jednog štapića ona može postati točna.
Kako to treba učiniti i koliko ima rješenja?

XI - XI = II

Neki gospodar poslao je slugu da kupi tri vrste ptica: golubove, grlice i vrapce.
Cijena jednoga goluba bila je 4 novčića, grlice 2 novčića, a za jedan novčić
mogla su se kupiti 3 vrapca.
Sluga je dobio 100 novčića i naredbu da za njih kupi točno 100 ptica.
Zašto je sluga bio u nedoumici?

Kada su se jednom zgodom sreli Albert Einstein i Charlie Chaplin,
počeli su razgovor o slavi.
U tom razgovoru Einstein je rekao Chaplinu:
"Vi ste popularni jer vas cijeli svijet razumije.
A ja pak sam slavan zato što nitko ne razumije ono što govorim."

Koliko se dobije, ako se zbroji najveći troznamenkasti
i najmanji dvoznamenkasti broj?

Koristeći osnovne računske operacije i zagrade, ako je potrebno, napišite:

broj 1 trima dvojkama
broj 2 trima dvojkama
broj 2 sa četiri dvojke
broj 3 trima dvojkama
broj 3 sa četiri dvojke
broj 5 sa četiri dvojke



Koristeći osnovne računske operacije i zagrade, ako je potrebno,
napišite broj 100 s pet jedinica.



Koristeći osnovne računske operacije i zagrade, ako je potrebno,
napišite broj 100 s pet trojki.



Koristeći osnovne računske operacije i zagrade, ako je potrebno,
napišite broj 100 s pet petica.



Koristeći osnovne računske operacije i zagrade, ako je potrebno,
napišite broj 100 sa sedam šestica.

U svako od devet polja kvadrata 3 x 3 treba upisati po jedan broj od 1 do 9
tako da zbroj u svakom retku i stupcu, kao i na obje dijagonale, bude 15.









Koristeći osnovne računske operacije i zagrade, ako je potrebno,
napišite broj 100 s šest sedmica.



Sve brojeve od 1 do 10 napišite s pet dvojki.



Sve brojeve od 1 do 10 napišite pomoću četiri četvorke.



Broj 1000 napišite s osam osmica.

Imate tri kuglice. Dvije su iste mase, a treća je malo lakša.
Kako ćete pomoću jednog vaganja odrediti koja je kuglica manje mase?





Imate devet kuglica. Osam kuglica ima istu masu, a deveta je malo lakša.
Koliko vam treba najmanje vaganja da nađete kuglicu manje mase?

Ako zbrojimo dva parna broja,
hoćemo li dobiti paran ili neparan broj?

Ako zbrojimo dva neparna broja,
hoćemo li dobiti paran ili neparan broj?

Ako zbrojimo tri neparna broja,
hoćemo li dobiti paran ili neparan broj?

Na stol stavite 10 kovanica kako prikazuje gornja slika.
Pomaknite samo tri kovanice tako da dobijete raspored kao na donjoj slici!



Za 100 kn trebate kupiti 100 jabuka.
Cijene jabuka su: prva klasa 10 kn, druga klasa 5 kn i treća klasa 0.5 kn.
Koliko morate kupiti od svake klase?

U posudi je 10 litara mlijeka.
Kako ćete odliti 5 litara mlijeka,
ako imate dva lonca od 3 litre i 7 litara?

Dva oca i dva sina pojeli su tri jabuke.
Koliko je svaki od njih pojeo?

Marko kaže:"Ja sada lažem."
Govori li Marko istinu ili stvarno laže? Obrazložite odgovor!

Trećina stupa je u zemlji, polovina u vodi, a iznad vode viri 1.5 m.
Kolika je dužina stupa?

Kokoš i po za dan i po snesu jaje i po. Koliko jaja snese 9 kokoši za 9 dana?



Kokoš i po za dan i po snesu jaje i po. Koliko jaja snesu 3 koke za 5 dana?



Bile su dvije majke i dvije kćeri.
Svaka je dobila jednu ružu.
Ukupno su poklonjene tri ruže.
Kako je to moguće?



Koliko puta u tijeku dana (24 sata) minutna kazaljka na satu
prijeđe iznad satne kazaljke?

Za lonac s poklopcem plaćeno je 120 kn.
Lonac je skuplji od poklopca 100 kn.
Koliko stoji poklopac?

Postavite na šahovsku ploču, šahovnicu 8 x 8,
osam kraljica tako da se međusobno ne napadaju.
(Ukupno postoji 92 rješenja.)

Ivica i Marica imali su prije deset godina zajedno deset godina.
Koliko će imati godina za deset godina?



Napišite "nesretni" broj 13 i "sretni" broj 7 samo pomoću pet trojki (3).

Ako jedna knjiga teži 1 kg i četvrt knjige, koliko teže tri knjige?

Koliko ima troznamenkastih brojeva?

Koja dva broja imaju to svojstvo da im je zbroj jednak umnošku?

Može li se 20 jabuka podijeliti na 5 učenika
tako da ni jedan ne dobije paran broj jabuka?

Na koliko se načina 4 učenika mogu razmjestiti na četiri stolice?

Napišite nulu (0) pomoću 3 četvorke.

Koliko ima troznamenkastih brojeva čija je brojka stotine jednaka brojci jedinice?

Sinu je 9 godina, a ocu 35. Kada će otac biti tri puta stariji od sina?

Za bilježnicu je plaćeno 10 kuna i još trećina cijene bilježnice.
Kolika je cijena bilježnice?

Na koliko se načina može platiti račun od 5 kuna kovanicama od 1 kn i 2 kn?

Letjelo jato gusaka, a vidio ih jedan ptić i rekao:
"Gle, jato od 100 gusaka!"
Jato je odgovorilo: "Nema nas 100. Da nas je još ovoliko,
još polovina, još četvrtina i ti da nam se pridružiš onda bi nas bilo 100."
Koliko je bilo gusaka u jatu?

Cigla je teška 2 kg i još pola cigle. Kolika je njezina težina?

Koja dva broja imaju to svojstvo
da im je zbroj jednak umnošku?

Može li se 20 jabuka podijeliti na 4 učenika tako
da ni jedan ne dobije paran broj jabuka?

Par konja je prešao 20 km. Koliko je kilometara prešao svaki konj?

Koliko ima troznamenkastih brojeva koji imaju isto značenje
bilo da se čitaju slijeva nadesno ili zdesna nalijevo?

Cigla ima masu 1 kg i još pola cigle. Kolika je masa cigle?

Puž se penje po stupu visokom 10 m.
Danju se popne 5 m, a noću spusti 4 m.
Koliko mu dana treba da se popne na vrh stupa?

Sinu je 9 godina, a ocu 35.
Kada će otac biti tri puta stariji od sina?

Donje netočne jednakosti, izgrađene od štapića iste duljine,
mogu se pomicanjem nekih štapića preoblikovati u točne jednakosti.
Kako to treba učiniti?
XX - II = XI + X - I

VII + III = V

VIII - V = X

III - XI = X

IV - II = X

Napiši peti član.
Pozor, puko davanje samo nekoliko prvih članova niza
ne definira jednoznačno taj niz, odnosno njegov opći član.
1, 16, 81, 256, ...

Koliko je
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Kako postaviti 16 stolica uz četiri zida
da uz svaki zid stoji 5 stolica?

Kako razmjestiti 6 stolica uz četiri zida sobe
da uz svaki zid stoje dvije stolice?

Kako razmjestiti 10 stolica uz četiri zida sobe
da uz svaki zid bude podjednako stolica?

Trojica učenika kupe bilježnica za 25 kn.
Svaki je dao blagajnici 10 kn. Od 30 kn, vratila im je 5 kn.
Oni su uzeli svaki po kunu, a 2 kn poklonili blagajnici.
Dakle, svaki je dao 9 kn.
No, račun ne štima.
3 × 9 kn = 27 kn i 2 kn daju ukupno 29 kn.
Gdje je 1 kn nestala?

Neki čovjek treba preko rijeke prevesti u čamcu
vuka, kozu i zelje vozeći samo po jedno.
Ali, ako ostavi vuka s kozom tada će vuk pojesti kozu,
a ako ostavi kozu sa zeljem tada će koza pojesti zelje.
Čovjek je ipak uspio preko rijeke prevesti vuka, kozu i zelje.
Kako je to uradio?



Zamisli jedan broj, mama ti da još toliko,
ja ti dam 8, polovica ti padne u more,
mami vrati dug i ostalo ti 4. Kako?

1. Brojčanik sata podijeli jednim pravcem na dva dijela
tako da u svakom dijelu zbroj brojeva bude isti.

2. Brojčanik sata podijeli s dva pravca na tri dijela
tako da u svakom dijelu zbroj brojeva bude isti.

3. Brojčanik sata podijeli s pet pravaca na šest dijelova
tako da u svakom dijelu zbroj brojeva bude isti.

Ako cijelo vrijeme idete po globusu na sjeveroistok, kamo ćete stići?

Poslije napornog dana provedenog na putu, trojica mudraca odlučila su prenoćiti.
Dok su spavali jedan od njihovih učenika obojao im je lica bojom.
Kada su se ujutro probudili, svaki od mudraca je vidio lica druge dvojice i,
misleći da je njegovo lice čisto, počeo se smijati.
Najpametniji među njima ipak se brzo uozbiljio zaključivši da je i on obojan.
Kako je to zaključio?

Možeš li 3 jabuke podijeliti na dva oca i dva sina,
a da svaki dobije po jednu jabuku?

Četiri mačke za 4 dana ulove 4 miša.
Za koliko dana će 100 mačaka uloviti 100 miševa?

Gubari su napali šumu i svakim je danom bilo
dva puta više zaraženog drveća nego prethodnog.
Za 10 dana cijela je šuma bila zaražena.
Za koliko je dana bilo zaraženo pola šume?

Imate dvije posude od 4 i 7 litara.
Kako, koristeći samo ove dvije posude
s izvora, natočiti točno 6 litara vode?

Posuda od 8 litara napunjena je do vrha mlijekom.
Kako podijeliti mlijeko na dva jednaka dijela,
koristeći još posude od 5 litara i 3 litre?

Kako ćete uz pomoć kanti od 4 i 9 litara
natočiti iz zdenca u lonac točno 6 litara vode?



Prvog dana na jezeru su bila 2 lopoča.
Drugog dana bilo ih je 4, trećeg 8, a četvrtog dana 16.
Sedmoga je dana čitavo jezero prekriveno lopočima.
Kojega je dana pola jezera bilo prekriveno lopočima?

Kako možemo posudama od 11 i 7 litara izmjeriti točno 10 litara vode?
Posude nemaju nikakvih oznaka.

Kako možemo posudama od 5 i 3 litre izmjeriti točno 4 litre vode?
Posude nemaju nikakvih oznaka.

Čisteći bicikl od prašine Andrija je došao i do lokota:
''Koje li su tri znamenke otvarale ovaj lokot?
Bile su tri uzastopne, ali koje i u kojem poretku...?''
Koliko će najviše kombinacija Andrija morati isprobati?

Koliko se najmanje puta okrene kotač od BMX bicikla
za jedan puni okret pedala?
Prednji lančanik ima 40 zubaca, a stražnji 20.



Dokazati da se svako vrijeme izraženo cijelim brojem minuta većim od 4
može izmjeriti pomoću dva pješčana sata koji mjere 3 i 5 minuta.

Priča se da je kineski car obilazeći zatvore odlučio pomilovati neke zatvorenike.
Pozvao je trojicu i rekao da stanu u red jedan iza drugoga.
Zatim je pokazao pet kapa: dvije bijele i tri crne.
Svakom zatvoreniku stavljena je jedna kapa na glavu pri čemu
nijedan od njih nije mogao vidjeti kakva je boja njegove kape.
Treći zatvorenik u redu mogao je vidjeti kakve kape imaju dvojica ispred njega,
drugi je vidio kapu prvoga, dok prvi nije mogao vidjeti nijednu kapu.
Da bi bili pomilovani, zatvorenici su trebali pogoditi boju svoje kape.
Drugi i treći zatvorenik su šutjeli, očigledno ne znajući boju svoje kape.
Prvi zatvorenik se malo zamislio i rekao caru boju svoje kape.
Odgovor je bio točan. Koje je boje bila njegova kapa?

Simbol Jin i Jang je stari religiozni simbol mira naroda na Istoku.
Kako ćete pomoću jednog pravca podijeliti oba simbola
istodobno na dva dijela jednakih površina?

Iz lonca punog mlijeka odlij točno polovinu
ne rabeći nikakav pribor.

Ako imaš vagu s dvije zdjelice i samo jedan uteg i to od 1 kg,
kako ćeš sa što manje vaganja odvagati 13 kg šećera?

Premjesti jednu šibicu tako da dobiješ točnu jednakost.

Nađi barem tri rješenja ovog zadatka.

VII + III = V

Dva prijatelja, koji se dugo nisu vidjeli, razgovaraju o djeci.
- Koliko imaš djece?
- Troje.
- Koliko imaju godina?
- Umnožak njihovih godina je 36,
a zbroj godina jednak je broju one kuće preko puta.
- Nisi mi dovoljno rekao podataka.
- Dobro, najstariji sin svira glasovir.
- Aha, sada znam koliko su djeca stara.
Da li i vi možete odrediti godine starosti djece?

Kako možeš bez premještanja i uklanjanja šibica
dobiti ispravne jednakosti?
XI + I = X

I - X = XI

U svakom retku premjesti po dvije šibice
tako da dobiješ točne jednakosti.
X = X - II

X + III = VII
XXV = XIII + XI

XXXV - XV = XXI

Ako se jedno jaje kuha 4 minute, koliko će se dugo kuhati 5 jaja?

Koliko trebamo najmanje raznih boja
za bojanje strana kocke ako svake dvije susjedne strane
(one koje imaju zajednički brid)
moramo obojiti različitim bojama?

Pilar pili drvo na pet dijelova.
Jedan dio otpili za pet minuta.
Za koliko će minuta pilar ispiliti drvo?

Koliko je teška riba
ako je njezina glava zajedno s trupom teška 10 kg,
težina trupa s repom iznosi 8 kg,
a glave i repa 6 kg?

Koliko se dobije ako zbrojimo
najveći troznamenkasti i najmanji dvoznamenkasti broj?

Zbroj i umnožak četiri prirodna broja iznosi 8.
Koji su to brojevi?

Ako u ponoć pada kiša,
može li se očekivati da će nakon 36 sati vrijeme biti sunčano?

1. Djelitelj:
Prirodni broj ima točno osam djelitelja. Među njima su 35 i 77. Koji je to broj?
2. Točna jednakost:
Između znamenaka
3   3   3   3   3   3   3   3   3   3   3 = 2
stavite znakove računskih operacija i zagrade tako da dobijete točnu jednakost!
3. Točna jednakost:
Između znamenaka
5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5 = 2
stavite znakove računskih operacija i zagrade tako da dobijete točnu jednakost!

Netko kupi 30 ptica za 30 novčića. Za svaka tri vrapčića plati 1 novčić,
za svake dvije grlice također 1 novčić, i konačno za svakoga goluba po 2 novčića.
Koliko je bilo ptica pojedinog roda? (Leonardo iz Pise - Fibonacci, XII. st.)

Netko ima 12 pinta vina i želi pokloniti polovicu,
no u njega nema posude od 6 pinta,
već samo jedna od 8 i jedna od 5.
Kako će naliti 6 pinta vina u posudu od 8 pinta? (S. D. Poisson, XIX. st.)

Petero braće nakon očeve smrti razdijele ostavštinu.
Bile su tri kuće, a kako ih se nije moglo dijeliti na pet,
uzeše ih tri starija brata. Mlađi stoga podijele novac.
Svaki od starijih plati po 800 rubalja mlađima.
Mlađi to međusobno podijele i sva su petorica dobila jednako.
Koliko su vrijedile kuće? (Lav Nikolajević Tolstoj)

Kupac kupi 138 aršina crnoga i plavoga sukna za 540 rublji.
Odgovorite, koliko je aršina kupio jednoga i drugoga,
ako je plavo sukno po 5 rublji a crno po 3 za aršin? (Anton Pavlovič Čehov)

Ako se dvije jednake kružnice sijeku, tada pravac
određen njihovim sjecištem ima svojstvo da je svaka njegova točka
jednako udaljena od središta i jedne i druge kružnice. (Leonardo Da Vinci)

Kružnicu, kojoj se znade središte podijeliti na četiri jednaka dijela,
samo uz pomoć šestara, bez ravnala. (Napoleon)

Ako neki broj podijeljen s 9 daje ostatak 1 ili 8,
onda njegov kvadrat podijeljen s 9 daje ostatak 1.
Dokaži! (Abu-Ali Ibn-Sina (980. - 1037.))

Stijena je visoka 117 stopa. Čovjek ima ljestve duge 125 stopa
i postavi ih uz stijenu tako da je njihov gornji
kraj prislonjen točno uz gornji rub stijene.
Koliko je stopa donji kraj ljestava udaljen od podnožja stijene?
(L. F. Magnickij (1669. - 1739.))

Bazen se puni s 4 cijevi. Prva napuni bazen za 1 dan,
druga za 2 dana, treća za 3 dana i četvrta za 4 dana.
Za koje bi vrijeme napunile bazen sve 4 cijevi
puneći ga istodobno? (Heron (1. st. prije Krista) iz Aleksandrije)

Neki je čovjek kupio konje i bikove za 1770 talira.
Za svakog konja platio je 31 talir, a za svakog bika 21 talir.
Koliko je kupio konja, a koliko bikova?
Koliko rješenja ima zadatak? (Leonhardo Euler)

Dvije seljanke donijele su na tržnicu ukupno 100 jaja,
jedna više nego druga i obje su za prodana jaja dobile iste svote.
Prva reče drugoj: "Kada bih imala toliko jaja koliko ti,
dobila bih za njih 15 krajcara."
Druga odgovori: "A kada bih ja imala toliko jaja koliko ti,
dobila bih za njih 6 cijelih i dvije trećine krajcara."
Koliko je jaja imala svaka od njih? (Stendhal)

Dokažite da je svaki neparni prirodni broj veći od 1
razlika kvadrata dvaju prirodnih brojeva. (Pitagora)

Treba naći najmanji prirodni broj koji pri dijeljenju s 2, 3, 4, 5 i 6
daje ostatak 1, a uz to je djeljiv sa 7. (Bhaskara Drugi)

Nekoliko je kosaca trebalo pokositi dvije livade,
jednu manju i drugu veću. Od jutra do podne kosili su svi samo veću livadu.
U podne polovina kosaca prijeđe na manju livadu.
Dok je tijekom popodneva druga polovina dovršila veću livadu,
manju je, nakon što je prva polovina kosila čitavo popodne,
dovršio jedan kosac tek sutradan radeći cijeli dan.
Koliko je bilo kosaca? (Lav Nikolajević Tolstoj)

Tri čovjeka žele kupiti kuću za 24 000 livri.
Dogovorili su se da jedan od njih plati polovinu svote,
drugi trećinu, a treći ostatak. Koliko je svaki od njih platio?
(Iz tečaja matematike francuskog autora J. Ozaname (17. st.))

Netko je prosjacima htio udijeliti jednaki broj novčića.
Da je imao osam novčića više, mogao bi svakom prosjaku dati po tri novčića.
Svakome je dao dva novčića i na kraju su mu preostala još tri.
Koliko je bilo prosjaka? (Iz Newtonove Opće aritmetike)

Jednom čovjeku treba 17 dana da se iz grada vrati kući.
Drugome za isti put od kuće do grada treba 20 dana.
Kojega će se dana susresti ako su istodobno krenuli na put?
(Iz Aritmetike L. F. Magnickog Opće aritmetike)

Razdijelite 100 mjera pšenice na 100 osoba tako da svaki muškarac dobije tri,
svaka žena dvije, a svako dijete pola mjera. (Alcuinov zadatak)

Dva tornja, jedan visine 40, a drugi 30 stopa, međusobno su udaljena 50 stopa.
Između njih se nalazi bunar. S vrhova oba tornja istodobno k bunaru polijeću dvije ptice,
lete istom brzinom i istodobno slijeću na njega. Koliko je bunar udaljen od svakog od tornjeva?
(Iz Fibonaccijeve Liber abaci)

Lovac na medvjede krenuo je iz svojeg logora u lov. Krenuo je na jug.
Nakon 1 kilometra skrenuo je na istok i u smjeru istoka prešao još 1 kilometar.
Zatim je opet skrenuo, ovoga puta na sjever, i poslije prijeđenog kilometra
stigao natrag u svoj logor. Iznenadio se kada je u šatoru zatekao medvjeda.
Koje je boje bio medvjed?

U svakom od ovih problema brojevi su poredani u niz.
Treba otkriti pravilo po kojem su formirani i napisati sljedeći član.

1, 4, 9, 16, ...

2, 6, 12, 20, ...

0, 6, 24, 60, ...

Rečenica ispod ove rečenice je istinita.

Rečenica iznad ove rečenice je neistinita.

Čovjek koji stanuje na 56. katu nebodera svakog dana
kada se vraća doma vozi se dizalom do 53. kata,
a zatim nastavlja pješice. Pogodite zašto!

Dva brata rođena su iste godine, istog mjeseca, dana i sata,
i od istih roditelja, ali ipak nisu blizanci. Zašto?

Na konjskim utrkama bio je određeni broj konja i jahača.
Ukupno je bilo 90 glava i 210 nogu.
Koliko ima konja, a koliko jahača?

Između znamenaka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 stavite aritmetičke znakove
za zbrajanje + i -, na mjestima gdje želite,
ali tako da konačan rezultat svih matematičkih operacija
koje se izvode s tako dobivenim brojevima bude 100.
Znamenke moraju biti u poretku od 1 do 9. Evo tri primjera:
1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100,

123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100,

123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100.
Nađite ostale zbrojeve.